Integral teu katangtu. Ngitung tina integrals teu katangtu

Salah sahiji bagian dasar analisis matematik teh make kalkulus integral. Ieu nyertakeun widang pisan lega objék, dimana kahiji - eta teh teu katangtu integral. Posisi eta nangtung salaku konci anu masih di SMA mangka hiji angka beuki prospek sarta kasempetan, nu ngajelaskeun matematik luhur.

katingalian

Dina glance kahiji, sigana utterly integral jeung modern, topical, tapi dina praktekna tétéla yén manéhna datang deui taun 1800 SM. Imah pikeun sacara resmi dianggap Mesir jadi teu ngahontal kami bukti saméméhna tina ayana na. Ieu alatan kurangna informasi, sadaya bari di diposisikan saukur salaku fenomena a. Anjeunna sakali deui confirms tingkat ngembangkeun ilmiah bangsa jalma kali. Tungtungna, karya nu kapanggih di matematikawan Yunani kuna, bobogohan ti SM nyaéta abad 4. Aranjeunna ngajelaskeun metoda dipaké tempat nu teu katangtu integral, hakekat nu éta pikeun manggihan volume atawa wewengkon wangun curvilinear (tilu-dimensi na dua diménsi pesawat, mungguh). itungan ieu dumasar kana prinsip division sahiji inohong aslina kana komponén infinitesimal, disadiakeun yén volume (aréa) anu geus dipikawanoh pikeun aranjeunna. Kana waktu, métode geus dipelak, Archimedes dipaké deui pikeun manggihan wewengkon parabola a. itungan sarupa dina waktos anu sareng keur ngalaksanakeun latihan di Cina kuna, dimana éta sagemblengna bebas tina sasama elmu Yunani.

pangwangunan

The narabas hareup dina abad XI SM geus jadi karya nu sarjana Arab "gerbong" Abu Ali Al-Basri, anu kadorong ka wates nu geus dipikawanoh, nu diturunkeun tina rumus integral keur ngitung sums tina jumlahna tur derajat ti mimiti ka kaopat, ngalamar ieu dipikawanoh pikeun urang metoda induksi.
Benak dinten anu admired ku Mesir kuno dijieun dina monumen endah tanpa parabot husus, iwal yén tina leungeun maranéhna sorangan, tapi ieu henteu a kakuatan élmuwan gélo ti waktos henteu kirang mujijat a? Dibandingkeun jeung kali kiwari kahirupan maranéhanana sigana ampir primitif, tapi kaputusan integrals teu katangtu deduced ka unggal madhab sarta dipaké dina prakna pikeun ngembangkeun salajengna.

Lengkah saterusna lumangsung dina abad XVI, nalika matematikawan Italia Cavalieri dibawa metoda indivisible, nu ngajemput Per Ferma. Dua kapribadian diteundeun yayasan pikeun make kalkulus integral modern, anu geus dipikawanoh di momen. Aranjeunna dihijikeun konsep diferensiasi sarta integrasi nu saacanna katempona unit timer ngandung. Ku tur badag, anu matematik tina waktu anu partikel fragmented papanggihan aya ku sorangan, kalayan pamakéan kawates. Jalan ngahiji jeung manggihan taneuh umum éta hijina leres di momen, hatur nuhun ka anjeunna, dina modern analisis matematik miboga kasempetan pikeun tumuwuh sarta ngamekarkeun.

Jeung petikan waktu robah sagalana jeung simbol integral ogé. Ku tur badag, éta diresmikeun élmuwan anu di jalan sorangan, contona, Newton dipaké hiji ikon pasagi, nu nempatkeun fungsi integrasi, atawa ngan saukur nempatkeun babarengan. disparity Ieu lumangsung nepi ka abad XVII, lamun Landmark keur sakabeh téori élmuwan analisis matematik Gotfrid Leybnits ngawanohkeun karakter sapertos wawuh ka Kami. Elongated "S" sabenerna dumasar kana hurup ieu alfabét Romawi, saprak ngalambangkeun jumlah Primitif. Nami integral dina diala berkat Jakob Bernoulli, sanggeus 15 taun.

Definisi formal

Integral teu katangtu gumantung kana harti tina primitif, jadi anggap we eta di tempat munggaran.

Antiderivative - ngarupakeun fungsi kabalikan tina turunan, dina prakna mangka disebut primitif. Upami: fungsi primitif tina d - mangrupakeun fungsi D, nu turunan v <=> V '= v. Pilarian primitif nyaeta keur ngitung integral teu katangtu, jeung prosés téa disebutna integrasi.

contona:

Fungsi s (y) = y ^3, sarta S na primitif (y) = (y ^4/4).

Susunan sakabeh Primitif sahiji fungsi dina - ieu mangrupa integral teu katangtu, dilambangkeun eta kieu: ∫v (x) DX.

Ku kahadéan tina kanyataan yén V (x) - anu ngan sababaraha fungsi aslina primitif, ekspresi nyepeng: ∫v (x) DX = V (x) + C, dimana C - konstan. Dina sawenang konstan nujul kana sagala tetep, saprak turunan nyaeta nol.

pasipatan

Sipat kasurupan ku integral teu katangtu, dasarna dumasar kana harti jeung pasipatan bangsa turunan.
Mertimbangkeun titik konci:

• turunan integral ti primitif anu primitif sorangan tambah hiji sawenang konstan C <=> ∫V '(x) DX = V (x) + C;
• turunan ti integral fungsi hiji fungsi aslina <=> (∫v (x) DX) '= v (x);
• konstan dicokot kaluar tina handapeun tanda integral <=> ∫kv (x) DX = k∫v (x) DX, dimana k - nyaéta wenang;
• integral, anu dicokot tina jumlah nu identik sarua jeung jumlah integrals <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Dua pasipatan panungtungan bisa disimpulkan yén integral teu katangtu aya linier. Ku lantaran kitu, urang kudu: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Ningali conto ngaropéa solusi integrals teu katangtu.

Anjeun kudu neangan nu ∫ integral (3sinx + 4cosx) DX:

• ∫ (3sinx + 4cosx) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Ti conto nu bisa dicindekkeun yén anjeun teu nyaho kumaha carana ngajawab integrals teu katangtu? Ngan manggihan sagala Primitif! Tapi milarian prinsip dibahas dihandap.

Métode jeung Conto

Dina raraga ngajawab integral, anjeun tiasa Resort ka metodeu di handap ieu:

• siap ngamangpaatkeun tabél;
• integral tina ku bagian;
• terpadu ku ngaganti variabel;
• summing nepi handapeun tanda diferensial nu.

tabél

Paling basajan tur nikmat cara. Di momen, analisis matematik bisa boast tabel rada éksténsif, nu dieja kaluar rumus dasar integrals teu katangtu. Dina basa sejen, aya témplat diturunkeun nepi ka anjeun jeung anjeun ukur bisa ngamangpaatkeun éta. Di handap ieu daptar teh posisi tabel utama, nu bisa ditampilkeun ampir unggal conto, boga solusi:

• ∫0dy = C, dimana C - konstan;
• ∫dy = y + C, dimana C - konstan;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, dimana C - konstanta, sarta n - Jumlah béda ti persatuan;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, dimana C - konstan;
• ^{∫e y dy = e y + C} , dimana C - konstan;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, dimana C - konstan;
• ∫cosydy = siny + C, dimana C - konstan;
• ∫sinydy = -cosy + C, dimana C - konstan;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, dimana C - konstan;
• ∫dy / dosa ² y = -ctgy + C, dimana C - konstan;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, dimana C - konstan;
• ∫chydy = malu + C, dimana C - konstan;
• ∫shydy = chy + C, dimana C - konstan.

Upami diperlukeun, sangkan sababaraha léngkah ngakibatkeun integrand ka tempoan tabular terasrasakeun meunangna. Conto: ∫cos (5x -2) DX = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x dosa (5x - 2) + C.

Numutkeun kaputusan eta jelas yén contona hiji integrand tabel lacks multiplier 5. Urang nambahkeun eta di paralel kalawan ngalikeun ku 1/5 pikeun éksprési umum henteu robah.

Integrasi ku Bagian

Mertimbangkeun dua fungsi - z (y) jeung x (y). Maranéhanana kudu mayeng differentiable on domain na. Dina hiji sipat diferensiasi kami boga: d (xz) = xdz + zdx. Integral tina dua sisi, urang meunang: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Ditulis persamaan hasilna, urang meunang rumus nu ngajelaskeun metoda integrasi ku bagian: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Naha éta diperlukeun? Kanyataan yén sababaraha conto kasebut nyaéta dimungkinkeun pikeun simplify, hayu urang nyebutkeun, pikeun ngurangan ∫xdz ∫zdx, upami kiwari dimungkinkeun deukeut ka bentuk tabular. Ogé, rumus ieu bisa dipaké leuwih ti sakali, pikeun hasil optimal.

Kumaha carana ngajawab integrals teu katangtu cara kieu:

• diperlukeun keur ngitung ∫ (s + 1) e ^2s DS

∫ (x + ^{1) e 2s DS = {z =} s + 1, dz = DS, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} DS} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s DX = ((s + 1) ^{2s e)} / 2-e ^2s / 4 + C;

• kudu ngitung ∫lnsds

∫lnsds = {z = lns, dz = DS / s, y = s, dy = DS} = slns - ∫s x DS / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.

Ngaganti variabel

Prinsip ieu ngarengsekeun integrals teu katangtu henteu kirang dina paménta ti éta dua saméméhna, sanajan pajeulit. métode anu saperti kieu: Hayu V (x) - integral tina sababaraha fungsi v (x). Dina acara yen dina diri integral dina Conto slozhnosochinenny asalna, kamungkinan meunang pahili jeung turun solusi jalan salah. Ulah robah prakték ieu ti variabel x jeung z, nu babasan umum visually disederhanakeun bari ngajaga z gumantung x.

Dina istilah matematika, ieu téh kieu: ∫v (x) DX = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), numana x = y ( z) - substitusi. Jeung, tangtu, anu fungsi tibalik z = y ^-1 (x) pinuh ngajelaskeun hubungan jeung hubungan tina variabel. catetan penting - nu DX diferensial merta diganti ku dz diferensial anyar, ti parobahan variabel dina integral teu katangtu ngalibatkeun ngaganti eta madhab, henteu ngan di integrand.

contona:

• kudu neangan ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) DS

Nerapkeun substitusi z = (s + 1) / (s ² + 2s-5). Lajeng dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) DS <=> (s + 1) DS = dz / 2. Hasilna, babasan di handap ieu, nu pisan gampang keur ngitung:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) DS = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• anjeun kudu neangan integral ∫2 ^s e ^s DX

Pikeun ngajawab nulis balik dina wangun kawas kieu:

^{∫2 s e s DS = ∫ (} 2e) s DS.

Urang denote ku = 2e (gaganti tina argumen hambalan ieu teu, mangka tetep s), urang masihan kami sahingga bisa hirup kalawan pajeulit integral jeung formulir tabular dasar:

^{∫ (2e) s DS = ∫a} s DS = a s / lna + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + lne) + C = 2 ^s e ^s / (ln2 + 1) + C.

Summing up tanda diferensial

Ku tur badag, metoda ieu integrals teu katangtu - lanceukna kembar sahiji prinsip nu robah tina variabel, tapi aya béda dina prosés pandaptaran. Hayu urang nganggap di leuwih jéntré.

Mun ∫v (x) DX = V (x) + C jeung y = z (x), mangka ∫v (y) dy = V (y) + C.

Dina waktu nu sarua kami henteu kudu poho transformasi integral trivial, diantara nu:

• DX = d (x + a), sarta wherein - tiap konstan;
• DX = (1 / a) d (kampak + b), dimana a - konstan deui, tapi teu sarua jeung nol;
• xdx = 1 / 2D (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Lamun urang nganggap hal umum dimana urang ngitung integral teu katangtu, conto bisa subsumed handapeun Rumus umum w '(x) DX = dw (x).

conto:

• kudu neangan ∫ (2s + 3) ² DS, DS = 1 / 2D (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² DS = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + ^{3) 2)} / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

pitulung online

Dina sababaraha kasus, lepat sumber nu bisa jadi atawa hoream, atawa hiji kedah urgent, anjeun tiasa nganggo prompts online, atawa rada, ngagunakeun kalkulator a integrals teu katangtu. Najan pajeulitna katempo jeung alam kontroversial di integrals, kaputusan nunut ka algoritma husus maranéhna, nu dumasar kana prinsip "lamun teu ... lajeng ...".

Tangtu, hiji conto sabagian intricate of kalkulator kitu moal ngawasaan, sakumaha aya kasus nu kaputusan geus nimu artifisial "dipaksa" ku ngawanohkeun elemen tangtu dina prosés, cara atra pikeun ngahontal hasil henteu. Sanajan alam kontroversial ngeunaan pernyataan ieu, eta bener, salaku matematik, prinsipna mah, hiji elmu abstrak, sarta obyektif primér na ngemutan kudu empower wates. Memang pikeun lemes amprok-dina téori hésé pisan mindahkeun up na mekar, jadi ulah nganggap yen conto ngarengsekeun integrals teu katangtu, anu masihan urang - ieu jangkungna kasempetan. Tapi deui ka sisi teknis mahluk. Sahenteuna pikeun pariksa itungan, anjeun tiasa nganggo ladénan nu eta ieu ditulis keur urang. Lamun aya anu peryogi pikeun itungan otomatis tina ungkapan kompléks, tuluy maranehna teu boga ka Resort ka software langkung serius. Kudu nengetan utamina dina lingkungan MatLab.

aplikasi

Putusan integrals teu katangtu di glance kahiji sigana tos rengse detached tina kanyataanana, sabab hese ningali pamakéan atra tina pesawat. Memang langsung make eta mana anjeun teu bisa, tapi aranjeunna unsur panengah diperlukeun dina proses ditarikna tina solusi dipake dina kaperluan praktis. Ku kituna, integrasi diferensiasi deui, sahingga aktip milu dina proses ngaréngsékeun persamaan.
Kahareupna persamaan ieu boga dampak langsung kana putusan masalah mékanis, itungan lintasan sarta konduktivitas termal - di pondok, sagalana yén constitutes hadir tur shaping hareup. conto teu katangtu integral, nu urang geus dianggap luhur, ngan trivial di glance kahiji, sakumaha basa pikeun ngalakonan beuki loba pamanggihan anyar.