Naon jumlah floating titik?

The presentasi nyata (atawa real) angka, tempat aranjeunna disimpen salaku mantissa na exponent anu ngambang angka titik (sugan titik, sakumaha anu adat di nagara Inggris-diomongkeun). Sanajan ieu, jumlah nu geus disadiakeun ku akurasi relatif dibereskeun sarta ngarobah mutlak. Ngagambarkeun nu dipaké pangseringna, disatujuan standar IEEE 754. operasi Mathematical anu ngagunakeun angka floating-point anu dilaksanakeun dina sistim komputasi - duanana hadwér katut sofwérna.

Titik atanapi koma

Daptar lengkep ngeunaan SEPARATOR decimal nangtukeun pamadegan nagara Inggris-diomongkeun jeung anglofitsirovannye, dimana rékaman tina angka dipisahkeun ku bagian fractional tina sakabeh titik, sabab terminologi nagara ieu ngadopsi nami titik floating - "floating titik". Dina Féderasi Rusia, anu bagian fractional tina sakabeh tradisi, dipisahkeun ku koma, ku kituna ngawakilan konsep sarua geus sajarahna dipikawanoh istilah "titik ngambang". Sanajan kitu, kiwari dina dokuméntasi téknis sarta dina sastra Rusia eta nu diwenangkeun duanana pilihan.

Istilah "floating titik" asalna tina kanyataan yen ngagambarkeun jumlah posisional mangrupakeun koma (decimal normal atawa biner - komputer) nu bisa cocog mana antara nomer garis. fitur ieu mangrupa pastikeun stipulate eta nyalira. Ieu ngandung harti yén ngagambarkeun floating angka titik bisa dianggap salaku palaksanaan komputer tina notasi eksponensial. Kauntungannana maké ngagambarkeun misalna tina hiji format ngagambarkeun dibereskeun-titik na angka integer anu dibasajankeun tina nilai tumuwuh nyata lamun éta akurasi relatif tetep unchanged.

conto

Mun nu koma di Jumlah dibereskeun, teras ngaduruk éta ngan hiji format. Contona, tinangtu saeutik genep di angka na dua digit di bagian fractional. Ieu bisa dilakukeun ngan ku cara ieu: 123456,78. Format floating angka titik méré wengkuan pinuh pikeun éksprési. Contona, dibikeun sami dalapan digit. pilihan ngarekam bisa jadi naon baé lamun programmer nu teu ngadamel dua-angka skimp widang tambahan tugas, dimana éta bakal ngarekam Éksponén anu ilaharna 10, sarta ti 0 nepi ka 16, sarta discharges bari jumlah total bakal sapuluh 8 + 2.

Sababaraha embodiments tina rékaman, nu ngidinan Anjeun pikeun pormat angka kalawan floating titik: 12345678000000000000; 0,0000012345678; 123,45678; 1.2345678 jeung saterusna. Dina format ieu, aya Lah a Unit ukur tina speed! Rada, kinerja sistem komputer nu direkam dina speed di mana komputer ngalakukeun operasi mana aya ngagambarkeun floating angka titik. kinerja ieu diukur dina watesan flop (operasi floating-titik per detik, anu ditarjamahkeun kana Jumlah transaksi per detik ku titik floating). Ieu unit dasar dina speed sistem komputer pangukuran.

struktur

Jumlah catetan dina format floating titik perlu kieu, observasi sekuen sahiji bagéan wajib, sabab catetan ieu eksponensial nu mintonkeun wilangan riil salaku mantissa jeung urutan. Ieu diperlukeun keur ngagambarkeun angka teuing ulin jeung leutik teuing, aranjeunna loba gampang maca. bagian diperlukeun: nu dirékam Jumlah (N), jeung mantissa (M), runtuyan tanda (p) sarta urutan (n). Dua ciri ahir tanda éta. Lantaran kitu, N = ^M. n ^p. Jadi tulisan angka floating-point. Conto bakal variatif.

1. Ieu perlu pikeun ngarékam Jumlah hiji juta, ku kituna teu musna dina nol. 1000000 - eta mangrupakeun rekaman normal, arithmetic. Hiji komputer nyaéta saperti kieu: ^1.0. Oktober ^6. Hartina, sapuluh kana kakuatan kagenep - tilu tanda, nu pas dina saloba genep nol. Kituna lumangsung ngagambarkeun angka tina titik tetep sarta floating mana geuwat bisa ngadeteksi béda éjahan.

2. Sarta jumlah teuas sapertos anu 1,435,000,000 (samilyar opat ratus tilu puluh-lima rebu) ogé bisa ditulis saukur: ^1.435. September ^10, wungkul. Ku kituna éta kalawan tanda dikurangan bisa nulis angka nanaon. Éta dinya, sarta beda jeung silih jeung Jumlah titik tetep sarta ngambang.

Tapi éta leuwih ti cara jadi low? Sumuhun, teuing gampang.

3. Contona, salaku tanda salah yuta? = 0.000001 ^1.0. 10 ^-6. Greatly facilitated sarta nomer tulisan, sarta maca eta.

4. A leuwih pajeulit? Lima ratus jeung opat puluh-kagenep billionth: 0.000000546 = ^546. 10 ^-9. Dieu. Kisaran titik floating pisan lega.

wujud

Jumlah formulir bisa jadi normal atawa dinormalisasi. Normal - salawasna hormat ka precision of floating angka titik. Ieu kudu dicatet yén mantissa lembaran ieu, tanpa nyokot kana akun tanda, nyaeta satengah tina interval 0 1, teras 0 ⩽ a <1. Teu di formulir normal tina Jumlah leungiteun akurasi na. Nu disadvantage bentuk normal nyaeta loba angka bisa ditulis dina cara nu beda, nu geus ambigu. Conto rékaman béda tina jumlah anu sarua: 0 = 0.0001, ^000001. Pébruari ¹⁰ = ^0.00001. January ¹⁰ = ^0.0001. 10 ⁰ = ^{0.001. 10 -1} = ^0,01. 10 ^-2, sarta jadi tiasa leuwih. Éta pisan sababna naha komputer ngagunakeun notasi dinormalisasi béda, di mana mantissa decimal nganggap nilai unit (inklusif), sahingga pikeun sapuluh (teu kaasup), sarta dina cara nu sarua dina mantissa angka biner ngabogaan nilai antara hiji (inklusif) kana dua (moal inklusif).

Ku kituna, 1 ⩽ a <10 Ieu -. Angka biner kalawan titik ngambang, sarta formulir ieu ngarekam angka wae (iwal enol) ngarebut cara unik. Tapi ogé aya hiji aral - nu henteu mampuh pikeun ngabayangkeun jenis ieu sarua jeung nol. Kituna informatika nyadiakeun keur ngagunakeun angka husus 0 tanda (bit). The integer bagian tina (MSB) tina mantissa di angka biner iwal enol dina formulir dinormalisasi sarua jeung 1 (Unit implisit). catetan ieu dipaké standar IEEE 754. Sistim angka posisional, wherein dasarna nyaéta leuwih ti dua (ternary, kuarternér sarta Sistem sejenna), sipat ieu moal dibeuli.

riil

wilangan riil nu mibanda floating titik sarta biasana sagampil teu hijina salah, tapi cara pohara merenah keur ngagambarkeun jumlah nyata, jadi éta, hiji kompromi antara rentang ti nilai na akurasi. Ieu analog jeung notasi eksponensial, ngan dipigawé dina komputer. Floating-titik Jumlah - a set bit individu dibagi kana tanda (tanda), urutan (exponent) jeung mantissa (congcorang). format paling umum mangrupa IEEE angka 754 floating-titik salaku set bit nu encode bagian tina na mantissa, anu bagian séjén - gelar jeung hiji bit nunjukkeun tanda nomer: enol - lamun éta positif, unit - lamun jumlahna téh négatip. Sakabéh prosedur dirékam ku angka (kode-shift), sarta mantissa nu - dina formulir dinormalisasi, bagian fractional anak - dina sistem biner.

Tiap tanda - mangrupakeun bit tunggal anu nuduhkeun tanda pikeun sakabéh angka floating-point. Mantissa jeung urutan - mangrupakeun wilangan buleud, aranjeunna marengan tanda na di jieun na ngagambarkeun floating angka titik. prosedur bisa disebut hiji eksponensial atanapi exponent. Henteu sakabeh wilangan riil bisa digambarkeun dina komputer dina harti pasti maranéhanana, nu batur dibere nilai perkiraan. Hiji pilihan teuing basajan - ngalebetkeun angka riil ku titik dibereskeun, dimana nu nyata jeung sakabeh bagéan bakal diteundeun misah. Paling dipikaresep, jadi yén bagian integer sok allotted X bit, sarta fractional - Y bit. Tapi arsitektur of prosesor henteu sadar metoda sapertos ieu, tapi lantaran sering dipake tinimbang dibikeun ka Jumlah titik ngambang.

tambahan

Ditambah angka floating titik anu cukup basajan. Dina sambungan kalawan standar jumlah tunggal precision IEEE 754 dinya boga angka nu gede ngarupakeun bit, ku kituna leuwih hade ngaléngkah ka conto, ku gagasan hadé nyandak pangleutikna angka floating-point. Contona, dua angka - X sarta Y.

Léngkah nyaéta kieu:

a) The angka kudu digambarkeun dina bentuk dinormalisasi. Ieu jelas hiji disumputkeun. X = ^1,110. 2 ^2, sarta Y = ^1.000. 2 ^0.

b) Teruskeun prosés komposisi ukur bisa equalize nu exhibitors tapi perlu nulis balik nilai Y. Bakal pakait jeung nilai angka dinormalisasi, sanajan dina kanyataanana - unnormalizes.

Ngitung bédana antara Éksponén sahiji gelar 2 - 0 = 2. Ayeuna ngalih mantissa ka ngimbangan parobahan ieu, maksudna, nambahan 2 kana indéks tina istilah kadua, sahingga pindah koma unit disumputkeun di dua titik ka kénca. 0,0100 ieu ^dicandak. Pébruari ^2. Ieu bakal teh sarua jeung nilai saméméhna Y, lajeng geus aya Y '.

c) Ayeuna maneh kudu nambahan nepi jumlah mantissa X jeung Y. disaluyukeun

1,110 + 0,01 = 10,0

Exhibitor masih diwakilkeun ku parameter X, anu sarua jeung 2.

g) Jumlah nampi dina hambalan saméméhna, bergeser unit normalisasi, teras anjeun kedah mindahkeun jumlah exponent jeung ngulang. 10,0 dua bit ka kénca ti titik désimal, angka ayeuna perlu normalize, nyaéta mindahkeun koma nu ka tinggaleun ku hiji titik, sarta exponent masing-masing ngaronjat ku 1. Tétéla ^1.000. March ^2.

e) Geus waktuna pikeun ngarobah sababaraha floating titik dina Sistim single-bait.

kacindekan

Salaku bisa ningali, nambahan angka kasebut henteu teuas teuing, naon bae anu floats koma. Iwal, tangtu, iwal bringing jumlahna tina exponent handap diantara langkung (dina conto di luhur, ieu teh Y kana X), kitu ogé restorasi tina status quo, nyaéta ngaluarkeun santunan - mindahkeun titik decimal ka kénca mantissa kana. Nalika tambahan nu geus kungsi dilarapkeun, éta pisan kamungkinan na masih salah masalah - perenormirovanie na truncation bit lamun jumlah maranéhanana henteu cocog jumlah keur ngagambarkeun eta.

multiplication

Sistim binér nawarkeun dua padika ku nu multiplies nu nomer floating-point. ieu tugas bisa jadi dipigawé ku multiplication, anu dimimitian jeung bit sahenteuna signifikan jeung nu dimimitian ku urutan bit tinggi di multiplier nu. Duanana perkara ngandung sababaraha operasi sequentially stacking produk parsial. Operasi ieu dikawasa ku ditambahkeunana multiplier bit. Ku kituna, upami salah sahiji bit sahiji multiplier nyaeta hiji unit, jumlah produk parsial multiplicand nu tumuwuh ku shift alkana. Mun hiji angka tina multiplier nu crept enol, bari multiplicand henteu ditambahkeun.

Mun multiplication anu dipigawé ngan dua angka, anu produk tina angka dina jumlah na teu bisa ngaleuwihan Jumlah digit dikandung dina faktor, leuwih ti dua kali, jeung nomer badag éta pisan, pisan. Mun dikali sababaraha angka, produk resiko teu cocog dina layar. Kusabab jumlah bit nu mana wae mesin digital pisan terhingga, sarta eta Angkatan ka ngurung maksimal dua kalieun Jumlah adders digit. Jeung lamun sajumlah tempat ieu dugi, dina produk éta inevitably baris ngawanohkeun kasalahan. Lamun jumlah ngitung nya badag, anu kasalahan tina tumpang tindihna, sarta salaku hasilna greatly ngaronjatkeun akurasi sakabéh. Di dieu, hijina cara - mun buleud hasil multiplication, teras karya kasalahan anu robah. Nalika operasi multiplication, janten kamungkinan pikeun buka saluareun grid of digit tapi ngan ku ngora, sabab aya hiji wates ditumpukeun dina Jumlah nu digambarkeun dina bentuk dibereskeun-titik.

sababaraha guaran

Hadé pikeun ngamimitian ti mimiti. Cara nu paling umum pikeun ngagambarkeun jumlah - angka garis salaku integer, dimana koma kasebut tersirat dina pisan tungtung. string Ieu tiasa wae panjang, tapi hiji koma nangtung di tempat katuhu pikeun nyimpen éta, pamisahan integer ti bagian fractional tina eta. Format presentasi sistem dibereskeun-titik merta nyimpen tangtu waé dina lokasi nu titik decimal. notasi ilmiah ngagunakeun view dinormalisasi baku tina ngagambarkeun angka. Ieu aqn {\ displaystyle AQ ^ {n }} AQ n. Di dieu hiji {\ displaystyle ^a} a, sarta mangka disebut renda mantissa. Ngan ngeunaan eta geus ngomong yén 0 ⩽ a jelas: n {/ displaystyle n} n - hiji exponent integer, sarta ^q {/ displaystyle q} q - ogé hiji integer, nu jadi dadasar radix nu (surat téh mindeng 10). Mantissa ninggalkeun koma sanggeus angka heula, nu teu sarua jeung nol, tapi rekaman salajengna ditransferkeun ka informasi nu dina nilai hadir tina jumlahna.

Jumlah floating-point anu ditulis sarupa pisan ka sadaya nomer Éntri baku jelas, mung exponent na mantissa nu dirékam nyalira. Panungtungan ka sami sareng dina format dinormalisasi - titik dibereskeun, nu dihias ku angka signifikan munggaran. Ngan titik floating dipaké utamina di komputer, nyaeta, dina ngagambarkeun éléktronik ti mana sistem henteu decimal na binér, dimana sanajan mantissa Denormalize titik disusun - kiwari éta méméh angka mimiti, teras sateuacan, moal sanggeus eta, di mana bagian integer prinsipna mah, moal bisa jadi. Contona, sistem decimal urang sorangan bakal masihan salapan sistem biner na keur dipake samentara. Tur anu bakal ngarekam jeung mantissa na floating-titik kawas ieu: +1001000 ... 0, sarta eta jeung indéks 0 ... 0100. Tapi sistem decimal gagal pikeun ngahasilkeun itungan rumit misalna, nu bisa jadi di binér, ngagunakeun wangun titik ngambang.

arithmetic panjang

Dina komputer éléktronik geus diwangun-di bungkusan software, dimana disadiakeun pikeun mantissa na exponent tina jumlah software memori dieusian, dugi ukur ku ukuran memori komputer. Sigana mah a arithmetic panjang, nyaeta, operasi basajan dina nomer anu ngalaksanakeun komputer. Ieu kabeh sarua ka - pangurangan na tambahan, division na multiplication, fungsi dasar sarta pangwangunan akar. Tapi jumlah pisan béda, kapasitas maranéhanana nyaéta nyata gede ti panjang kecap mesin. Palaksanaan operasi ieu henteu ku hadwér katut sofwérna tapi geus loba dipaké hardware dasar pikeun digawe sareng nomer leuwih leutik tina tarekat. Aya beuki arithmetic, dimana angka panjangna ukur dugi ku ihwal eusi mémori - sawenang precision arithmetic. A arithmetic lila dipaké dina loba widang.

1. Pikeun compile kodeu (prosesor, microcontrollers kalawan bit jero low - 10-bit registers sarta dalapan bit panjangna Kecap, teu cukup pikeun nanganan informasi tina analog-to-digital (analog-to-digital converter), sarta ku kituna teu bisa ngalakukeun tanpa arithmetic panjang.

2. Hal ieu ogé mangrupa arithmetic panjang dipaké pikeun kriptografi, dimana perlu mastikeun katepatan tina hasil tina exponentiation atanapi multiplication ka ^10.309. arithmetic integer dipaké Modulo m - jumlah alam badag, sarta teu merta basajan.

3. Software pikeun financiers na matematikawan, teuing, teu tanpa arithmetic panjang, sabab hijina jalan ka pariksa hasil itungan dina kertas - kalayan bantuan komputer, mastikeun akurasi tinggi ti nomer. Floating titik aranjeunna tiasa ngalibetkeun angka salah sahiji ngurangan panjang. Tapi itungan rékayasa jeung karya élmuwan merlukeun itungan program campur pisan mindeng, sabab hésé pisan sangkan data input tanpa nyieun kasalahan. aranjeunna biasana leuwih voluminous ti hasil rounding.

Gelut jeung kasalahan

Lamun sababaraha operasi nu titik ngambang, éta hésé pisan assess katepatan tina hasil. Teu acan jadian satisfying sagala téori matematik nu bakal nulungan pikeun ngabéréskeun masalah ieu. Tapi integer kasalahan evaluate gampang. Kamungkinan lalaki leupas tina akurat dina beungeut cai - ngan make mung Jumlah dibereskeun-titik. Contona, program finansial diwangun dina prinsip ieu. Sanajan kitu, aya basajan: jumlahna diperlukeun of digit sanggeus titik decimal geus dipikawanoh sateuacanna.

aplikasi sejen teu dugi ka, sabab teu bisa digawekeun ku boh angka pisan leutik atawa kacida gedéna. Ku kituna lamun anjeun damel salawasna nyokot kana akun anu meureun aya akurat, sarta kusabab derivasi tina hasil eta perlu buleud. Sumawona rounding otomatis mangrupa mindeng kurangna Peta, sarta ku kituna rounding diartikeun husus. Pisan bahaya di hormat ieu, operasi perbandingan. Aya nu malah estimasi jumlah kasalahan hareup pisan hésé.