Aljabar Boolean. aljabar logika. Elemen logika matematik

Di dunya dinten ieu urang beuki ngagunakeun rupa-rupa mesin sarta gadget. Na mah ngan lamun perlu nerapkeun kakuatan sacara harfiah superhuman: mindahkeun beban pikeun ngangkat ka jangkungna, ngagali lombang panjang tur jero, jsb Mobil dinten kumpulkeun robot, kadaharan ieu asak Multivarki jeung itungan arithmetic dasar ngahasilkeun kalkulator ... Beuki loba sering kami ngadéngé frase "Boolean aljabar". Sugan waktu geus datang ka ngarti kana peran manusa dina kreasi robot jeung mesin kamampuan pikeun ngajawab teu ukur matematik, tapi ogé masalah logis.

nurut akal

Dina logika Yunani - hiji sistem maréntahkeun pamikiran yen nyiptakeun hubungan antara kaayaan dibikeun tur ngidinan Anjeun pikeun nyieun kasimpulan dumasar kana asumsi na perkiraan. Rada sering, urang menta saling: "Ieu logis mun" reply The confirms asumsi urang atanapi criticizes nu karéta pamikiran. Tapi prosés nu teu eureun aya: urang neruskeun ngobrol.

Kadang-kadang Jumlah kaayaan (input) nyaeta jadi pinunjul, sarta hubungan antara aranjeunna geus jadi ngabingungkeun jeung kompleks yén otak manusa henteu bisa "nyerna" sadayana sakaligus. Anjeun bisa jadi kudu leuwih ti sabulan (minggu, sataun) pikeun pamahaman naon anu lumangsung. Tapi hirup modern teu masihan urang interval waktu ieu keur nyieun kaputusan. Sarta kami Resort kana bantuan ti komputer. Tur éta didieu yén aya hiji aljabar jeung logika, jeung hukum na jeung sipat. Saatos ngundeur sakabéh data aslina, urang ngidinan komputer pikeun ngakuan sakabeh hubungan, pikeun ngaleungitkeun kontradiksi jeung pikeun manggihan solusi nyugemakeun.

Matematika sarta logika

Kawentar Gotfrid Vilgelm Leybnits ngarumuskeun konsep "logika matematik", nu pancén éta gampang ngartos ngan hiji bunderan leutik ulama. Dipikaresep tinangtu nyaéta arah henteu ngakibatkeun, sarta ka tengah abad XIX logika matematik dipikawanoh ku sababaraha.

Kapentingan hébat dina masarakat ilmiah geus ngabalukarkeun papaséaan numana Englishman Dzhordzh Bul ngadéklarasikeun niat na pikeun ngadegkeun cabang ti matematika, teu ngabogaan pancen teu pamakéan praktis. Salaku urang terang tina sajarah, ulubiung aktip ngamekarkeun produksi industrial, urang dikembangkeun sagala jinis mesin bantu, t. E. Sadaya pamanggihan ilmiah geus kungsi orientasi praktis.

Pilari payun, urang nyebutkeun yén hiji aljabar Boolean - paling dipaké dina dunya kiwari bagian tina matematika. Kitu argumen Anjeun Buhl leungit.

Dzhordzh Bul

Kapribadian panulis pantes perhatian husus. Malah dibikeun kanyataan yén di urang kaliwat tumuwuh nepi saméméh kami, masih eta kudu dicatet yén dina 16 taun Yohanes. Buhl diajarkeun di sakola desa, tur nepi ka 20 taun dibuka sakola sorangan di Lincoln. Matematikawan sampurna mastered lima basa asing, tur dina waktu luang-Na, ieu maca karya Newton sarta Lagrange. Sarta sakabeh ieu - dina putra hiji worker biasa urang!

Dina 1839, Buhl dikirim tulak munggaran ilmiah na di Cambridge Mathematical Journal. Élmuwan ngancik heubeul 24 taun. Karya Boole urang téh anggota sangkan museurkeun tina Royal Society, dina 1844 anjeunna nampa medali pikeun kontribusi pikeun ngembangkeun analisis matematik. Sababaraha tulak diterbitkeun nu unsur logika matematik, matématika diwenangkeun ngora nyokot pos sahiji dosen di College of Cork County anu dijelaskeun. Ngelingan yen dina pendidikan pisan Boole ieu mah henteu.

gagasan

Sacara prinsip, aljabar Boolean basajan pisan. Aya pernyataan (logis ungkapan) yén, ti sudut pandang matematika, ngan bisa didefinisikeun dina dua kecap: "leres" atawa "palsu". Contona, tangkal di cinyusu mekar - kaleresan, dina enas eta snows - bohong. Kaéndahan matématika téh nya éta bisa nedunan kudu maké ukur angka. Keur judgments aljabar rada cocog sagala pernyataan kalawan harti unik.

Ku kituna, aljabar logika bisa dipaké sacara harfiah madhab: di scheduling sarta tulisan instruksi, analisa informasi conflicting ngeunaan acara jeung tekad nu réntétan lampah. Hal pangpentingna - mun nyadar yén henteu masalah kumaha urang nangtukeun bebeneran atanapi falsity tina pernyataan. Ti ieu "kumaha carana" jeung "naha" nu peryogi malire. Naon perkara nyaeta ngan hiji pernyataan kanyataan: kaleresan nya bohong.

Tangtu, program fungsi pangpentingna tina aljabar logika nu dirékam ku tanda jeung simbul luyu. Jeung diajar aranjeunna - hartina pikeun neuleuman basa asing nu anyar. Euweuh anu teu mungkin.

konsep dasar na definisi

Tanpa bade kana jero, urang nungkulan terminologi. Ku kituna, aljabar Boolean presupposes:

• pernyataan;
• Operasi logis;
• fungsi jeung hukum.

Pernyataan - sagala ekspresi satuju nu bisa diinterpretasi dua-hargana. Éta nu ditulis salaku angka (5> 3) atanapi ngarumuskeun kecap akrab (gajah - nu mamalia pangbadagna). Dina hal ieu, frasa "beuheung jerapah urang henteu" ogé boga hak aya, ngan aljabar Boolean nangtukeun salaku "bohong."

Kabéh pernyataan kedah unambiguous, tapi maranéhna bisa bisa dasar atawa sanyawa. pamakéan panganyarna kebat logis. E. Dina sanyawa pernyataan aljabar judgments dibentuk ku ditambahkeunana operasi logika dasar.

Operasi aljabar Boolean

Simkuring geus inget yen operasi dina aljabar ti judgments - logis. Ngan salaku aljabar di angka ngagunakeun operasi arithmetic pikeun nambahkeun, subtract, atanapi ngabandingkeun angka, elemen logika matematik ngawenangkeun nyieun pernyataan kompleks, mun mungkir atawa keur ngitung hasil ahir.

Operasi logika kanggo formalization sarta kesederhanaan dikedalkeun ku rumus, wawuh ka Kami di arithmetic. Sipat persamaan aljabar Boolean nyieun mungkin pikeun ngarekam jeung ngitung kanyahoan. Operasi logis anu biasana dirékam ku méja bebeneran. elemen na nangtukeun kolom sarta operasi komputasi nu geus dipigawé dina eta, jeung barisan némbongkeun hasil itungan.

logika dasar Peta

Paling umum dina operasi aljabar Boolean anu negation (NOT), sarta logis AND na OR. Jadi kasebut nyaéta dimungkinkeun pikeun ngajelaskeun praktis sagala léngkah dina judgments aljabar. Urang diulik dina jéntré unggal tilu operasi.

The negation (moal) ieu dilarapkeun ka ngan hiji unsur (operand). Ku alatan éta, operasi disebut negation unary. Pikeun ngarekam konsép "teu A" ngagunakeun simbol misalna: ¬A, atawa A !. Dina formulir tabular eta Sigana mah ieu:

Fungsi panolakan has hiji pernyataan misalna: lamun A bener, lajeng A - nyaeta palsu. Contona, bulan revolves sabudeureun Bumi - kaleresan; Bumi revolves sabudeureun bulan - a bohong.

multiplication logis tur tambahan

Logis AND operasi disebut ditéang a. Naon eta hartosna? Firstly, eta bisa dilarapkeun ka dua operands, nyaéta I - .. operasi binér. Bréh, éta ukur dina kasus kabeneran duanana operands (duanana A jeung B) anu leres jeung ekspresi sorangan. paribasa teh, "Sabar sarta usaha saeutik" ngakibatkeun yen ngan dua faktor bisa nulungan jalma Cope jeung kasusah.

simbol anu dipaké pikeun ngarékam: A∧B, A⋅B atanapi A && B.

Ditéang téh sarupa jeung multiplication dina aritmetika. Kadang-kadang jeung sebutkeun - multiplication logis. Lamun kalikeun unsur tina jajar tabél, urang meunang hasil sarupa pamikiran logis.

Disjunction mangrupakeun logis OR operasi. Memang bener mun sahanteuna salah sahiji pernyataan bener (boh A atawa B). Hal ieu diserat kawas ieu: A∨B, A + B atawa A || B. tabel kabeneran keur operasi ieu:

Disjunction tambahan arithmetic sarupa. Operasi tambahan logis boga ngan hiji pangwatesan: 1 + 1 = 1. Tapi kami inget yen dina format digital anu dugi ka logika matematik 0 jeung 1 (dimana 1 - bebeneran, 0 - palsu). Contona, dina pernyataan "dina musium anjeun tiasa ningali karya atawa manggihan hiji parusahaan alus" hartina naon anjeun tiasa ningali karya seni, sarta kasebut nyaéta dimungkinkeun pikeun papanggih hiji jalma metot. Dina waktu nu sarua, teu aturan kaluar kamungkinan minuhan simultaneous duanana acara.

Fungsi jeung hukum

Ku kituna, urang geus terang kumaha operasi logis maké aljabar Boolean. Fungsi ngajelaskeun sakabeh sipat unsur logika matematik, sarta ngidinan urang simplify pernyataan sanyawa kompleks. Paling jelas tur basajan sigana sipat tampikan ti operasi turunan. Ku turunan anu dipikaharti XOR, implication na sarua. Salaku geus urang baca ukur jeung operasi dasar, lajeng harta oge ukur mertimbangkeun aranjeunna.

Associativity hartina dina pernyataan kayaning "duanana A jeung B, sarta B 'runtuyan Listing tina operands henteu masalah. Rumus ieu ditulis saperti kieu:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Sakumaha anjeun tiasa tingali, ieu moal unik kana ditéang tapi disjunction a.

Commutativity boga pamadegan yén hasil tina ditéang atawa disjunction henteu gumantung kana anu item ieu dianggap di outset nu:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity ngamungkinkeun nyingkab kurung di ungkapan logis kompléks. Aturan anu sarupa ka parenthesis lawang dina multiplication jeung tambahan dina aljabar:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Sipat Unit na scratch, nu bisa jadi salah sahiji operands oge sarupa dina aljabar multiplication ku enol atawa salah, sarta ditambah Unit a:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency Kami ngabejaan yen lamun rélatif dua operands sarua hasil tina operasi anu sami, anjeun tiasa "maledog" nu operands ngahesekeun penalaran kaleuwihan. Sarta ditéang sarta disjunction operasi anu idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Akuisisi ogé ngamungkinkeun urang pikeun simplify persamaan. Diserep nyebutkeun yén lamun babasan ieu dilarapkeun hiji operand, operasi sejen kalawan unsur anu sarua tina hasil operand geus nyerep operasi.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

réntétan operasi

Sekuen Operasi nyaeta ngeunaan pentingna hébat. Sabenerna, sakumaha keur aljabar, aya fungsi prioritas anu ngagunakeun aljabar Boolean. Rumusna bisa disederhanakeun ngan tunduk kana significance tina operasi. Ranking nu paling signifikan pikeun negligible, urang ménta sekuen handap:

1. panolakan.

2. ditéang.

3. disjunction, XOR.

4. implication The, sarua.

Sakumaha anjeun tiasa tingali, mung negation of ditéang jeung teu boga prioritas sarua. A prioritas ti disjunction na XOR sarua, kitu ogé nu prioritas of implication na sarua.

Fungsi implication na sarua

Salaku geus kami ngomong, sajaba operasi logis dasar, logika matematik jeung tiori algoritma maké turunan. Ieu paling sering di implication na sarua.

The implication atanapi konsekuensi logis - pernyataan ieu, nu salah sahiji Peta nyaéta kaayaan, sarta séjén - hasil tina palaksanaan na. Dina basa sejen, proposal ieu jeung pretext tina "lamun ... lajeng". "Saatos dinner asalna reckoning nu". E. Pikeun nyetir bisa tightened dina pasir kareta lesod. Lamun teu aya kahayang pikeun mindahkeun turun ti gunung, sarta teras sered kareta lesod nu teu perlu. Geus ditulis jadi: A → B atanapi A⇒B.

Kasaruaan ngakibatkeun yen efek net lumangsung ngan lamun duanana operands anu leres. Contona, wengi méré jalan ka dinten lajeng (jeung ngan lajeng), nalika panonpoe naék leuwih cakrawala dina. Dina basa logika matematik tina pernyataan ieu ditulis salaku A≡B, A⇔B, A == B.

hukum sejenna aljabar Boolean

Aljabar judgment tumuwuh, sarta loba élmuwan kabetot pikeun ngarumuskeun hukum anyar. Nu kawentar dianggap postulates matematikawan Skotlandia O. De Morgan. Anjeunna noticed tur masihan hiji harti pasipatan kayaning negation nutup, tambahan jeung ganda négatip.

Tutup panolakan nunjukkeun yen sateuacan parenthesis nu teu denying: henteu (A atawa B) A = henteu atawa B. NOT

Nalika operand kasebut dibantah, paduli nilaina, nyebutkeun ngeunaan tambahan:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Sarta pamustunganana, nu negation ganda sorangan compensates. ie saméméh boh negation operand disappears atanapi tetep ngan hiji.

Kumaha carana ngajawab tés

Logika ngakibatkeun nyederhanakeun predetermined persamaan. Kawas dina aljabar Lie, perlu pikeun maximally mempermudah kaayaan munggaran (meunang leupas tina operasi input pajeulit, sarta kalawan aranjeunna), lajeng ngawitan pilari jawaban nu bener.

Naon anu kudu dipigawé pikeun simplify? Ngarobah sakabeh turunan dina operasi basajan. Lajeng uncover sagala kurung (atawa sabalikna, sangkan kurung pikeun ngurangan unsur ieu). Lengkah saterusna kedah nganggo pasipatan aljabar Boolean dina praktekna (sipat diserep enol jeung hiji, sarta t.).

Pamustunganana, persamaan kedah diwangun ku sababaraha minimum unknowns, digabungkeun jeung operasi basajan. Cara panggampangna pikeun néangan solusi, lamun ngadamel angka nu gede ngarupakeun negatives nutup. Lajeng jawaban bakal pop up jadi lamun ku sorangan.